最小作用量原理
经典力学可以通过最小作用量原理描述，其中作用量表达式为：
\[ S = \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t) dt \]
最小作用量原理断定，物体真实的运动轨迹将使得上式取极值，从而对上式做变分将得到拉格朗日方程。这里将变分的结果写出。
\[ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta q \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\dot \partial q}\right) dt + \left. \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q \right|^{t_2}_{t_1} \]
上式的变分并不是无约束的，实际上，最小作用量原理要求固定轨迹的两个端点, 即 \(\delta q(t_2) = \delta q(t_1) = 0\) 。实际上人们常常忽略端点处的时间参数也是固定的。也就是说在轨迹末端的位置固定，到达轨迹末端的时间也是固定的。
作用量
假设现在物体的运动是已知的，即已经通过最小作用量原理求得了物体运动的方程，从而此时可以得到作用量函数。
\[ S(q_2 ,t_2) = \int_{t_1}^{t_2} L dt \]
如上一节所说，做变分时轨迹末端的位置和时刻都是固定的，从而作用量是轨迹末端位置和时间的函数。现在可以看看作用量的全微分是什么。由于这里涉及变分，直接求全微分不太好求，可以依次求偏微分。
首先固定到达时间，改变到达位置，从而按照上一节的结论和欧拉-拉格朗日方程可以得到：
\[ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta q \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\dot \partial q}\right) dt + \left. \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q \right|^{t_2}_{t_1} = \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q_2 \]
从而得到作用量关于位置的偏微分
\[ \frac{\partial S(q,t)}{\partial q} = \frac{\partial L}{\partial \dot q} = p \]
关于到达时间的偏微分要复杂一些，郎道书（(Landau and Lifshitz 1976)）中通过间接计算 \(\dfrac{d S}{d t}\) 来求偏微分。这里我们直接计算，帮助理解这里微妙的变分关系。
现在要求关于到达时间的偏微分，从而到达位置必须固定，假设到达时间从 \(t_2\) 变为了 \(t_2 + \delta t\). 那么到达位置势必变为 \(q(t_2 + \delta t)\) .显然到达位置无法固定，因此到达 \(t_2\) 时刻的位置不能固定必须改变 \(\delta q(t_2)\) 来抵消这一改变，如果即到达位置的改变为 \(\Delta q\) (参考 Goldstein (GOLDSTEIN 2011) ). 从而
\[ \Delta q_2 = \delta q(t_2) + \dot q \delta t = 0 \]
于是可以求作用量关于时间的偏微分，于是
\[ \delta S = L \delta t_2 + \int^{t_2}_{t_1}\delta L d t = L \delta t_2+ \frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta q(t_2) = L\delta t_2 - p \dot q \delta t_2 = -H \delta t_2 \]
于是得到全微分为
\[ dS = -H dt + p dq \]
形式上该微分可以这样记忆：
\[ dS = L dt = p\dot q dt - H dt = pdq -H dt \]
这样的记忆不无道理，可以将 \(q,t\) 两个变量看作新的空间上的参数，那么 \(p\) 是 \(q,t\) 的函数，从而 \(S\) 是路径积分其在终点处的全微分自然由上式给出。
Hamilton-Jacobi 方程
作用量对时间的偏导数为系统的 Hamilton 量，而 Hamilton 量中的动量是作用量关于位置的偏导数，从而给定Hamilton量可以构造作用量满足的偏微分方程, 即 Hamilton-Jacobi 方程。
\[ \frac{\partial S(q,t)}{\partial t} = -H(p,q) =-H(\frac{\partial S}{\partial q},q) \]
上式的推导假设了系统是保守体系。
作为生成函数的作用量
Hamilton-Jacobi 方程一般可通过分离变量求解，但是即便求出作用量的显示形式，轨迹方程也无法直接求出。不过作用量可以看成一类特殊正则变换的生成函数。
在位形空间上选取任意的坐标系均满足 Euler-Lagrangian 方程，而对于 Hamilton 方程组，\(p,q\) 的同等地位使得可以对 \(p,q\) 整体做变换得到 \(P,Q\). 当然这并不能保证新的变量依然满足 Hamilton 方程组，现在寻找该变换需要满足的条件。
这里需要用到一个新的最小作用量原理，若将作用量表示为 \(S = \int p dq -\int H dt\) 同时认为 \(p,q\) 是独立的变量，那么对这两个变量做变分也可得到Hamilton 方程组。这个推导比较简单。这里略去。
假设作用量可以用新旧两组变量做变分，于是
\begin{align} \delta S &= \delta \int p dq -H dt \\ \delta S &= \delta \int P dQ -H'dt \end{align}
上述变分必须等价，一种方法是二者相差一个全微分。因为在边界处变分为0.
于是
\[ pdq -Hdt = PdQ -H'dt + dF \]
从而
\begin{align} p &= \frac{\partial F}{\partial q}\\ P &= -\frac{\partial F}{\partial Q}\\ H' &= H + \frac{\partial F}{\partial t} \end{align}
对 \(F\) 做 Legendre 变换可以得到不同类型的生成函数。倘若可以选取一个特殊的生成函数使得新的 Hamilton 量为0，那么 Hamilton 方程将变得 Trivial 。 观察上式可以发现，该条件恰好就是 Hamilton-Jacobi 方程。
\[ -H = \frac{\partial F}{\partial t} \]
假设现在已经解出 Hamilton-Jacobi 方程，那么可以任意选取其中的积分常数作为 \(Q\) 根据 \(P\) 为常数求得轨迹方程。
量子力学中的 Hamilton-Jacobi 方程
量子力学的运动学有 Schrodinger 方程给出，假设波函数有形式 \(\Psi = \exp(iS/\hbar)\)，则 Schrodinger 方程给出
\begin{align} \frac{-\hbar^2\nabla^2}{2m} \Psi + V \Psi = hi \frac{\partial}{\partial t} \Psi \end{align}
带入波函数并整理可得
\[ \frac{1}{2m}(\nabla S)^2 - \frac{hi}{2m} \nabla^2 S = -\frac{\partial S}{\partial t} \]
令 \(\hbar \to 0\) ，上式恰好便是 Hamilton-Jacobi 方程。
Feymann 路径积分
Feymann 路径积分是量子力学的另一种等价描述。它断言传播子由下式给出：
\[ \left<x_1,t_1|x_0,t_0\right> = \sum_{\mathrm{average\ over\ all\ paths}} \exp(i\int_{t_0,x _0}^{t_1,x_1} \frac{L}{\hbar} dt) \]