General Relativity
最近听 BC 的课听到了 Einstein-Hilbert 作用量。之前看梁灿彬的书，Einstein 场方程基本知道了个大概，其推导也比较平常，基本接近与猜（上册书）。BC 的书((Bambi 2018))的推导接近朗道的讲法，使用 Einstein-Hilbert 作用量推导计算略繁复，但非常有趣，易于理解。
Einstein-Hilbert 作用量最早由 Hilbert 发现，他通过这一作用量几乎和 Einstein 同时给出了引力场方程的正确形式。
Einstein-Hilbert 作用量
作用量应包含两个部分，一个部分的作用量由引力给出,或者说由几何给出，另一部分作用量描述物质与能量。对作用量整体做变分便可得到物质与几何的关系。因此作用量由如下两部分：
\[ S = S_g + S_m \]
由于要推导引力场给出的几何结构，对度规做变分是恰当的，作用量 \(S_m\) 由具体的物质作用量给出（比如电磁场的作用量）。现在只考虑引力场的作用量 \(S_g\)
\[ S_g = \int L_g \epsilon = \int L_g \sqrt{-g} d^4 x \]
\(\epsilon = \sqrt{-g}dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3\) 是体元，一个4微分形式。 \(L_g\) 是引力的拉格朗日量，它应当是一个与坐标无关的标量场，同时它应该与几何结构相关，比如说曲率，一个比较自然的选择是标量曲率 \(R = g^{\mu \nu} R_{\mu\nu}\) . 于是下式便是有名的 Einstein-Hilbert 作用量。
\[ S_g = \int R\sqrt{-g}d^4 x \]
变分
对 \(S_g\) 做变分，变分的目标是应当是给出一个边界量和一个被积函数与 \(\delta g_{\mu\nu}\) 成正比的量。现在开始计算
\[ \delta S_g = \int R \delta\sqrt{-g}d^4 x + \int R_{\mu\nu} \sqrt{-g} \delta g^{\mu\nu} d^4 x + \int g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \delta R_{\mu\nu} d^4 x \]
分别计算上式三项。
第一项
\[ \delta\sqrt{-g} = \frac{-1}{2\sqrt{-g}} \frac{\partial g}{\partial g_{\mu\nu}} \delta g_{\mu\nu} \] \(g\) 是度规作为矩阵的行列式，对 \(g_{\mu\nu}\) 求导需将行列式展开，不过可以利用代数余子式将行列式沿某一行展开，只要保证我们求导的那一项在该行中。
\[ g = \sum_\nu g_{\mu\nu} A_{\mu\nu} \]
注意上式不是没有使用Einstein求和约定。于是 \(\frac{\partial g}{\partial g_{\mu\nu}} = A_{\mu\nu}\) 。又根据克拉默法则计算矩阵逆的公式有 \(g^{\mu\nu} = A^{\nu\mu}/g\). 从而
\[ \frac{\partial g}{\partial g_{\mu\nu}} = A_{\mu\nu} = g^{\mu\nu} g \]
上式利用了 \(g_{\mu\nu}\) 的对称性。于是第一项完整的变分结果为
\[ \int R \delta \sqrt{-g} d^4 x = \frac{1}{2} R \sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} \]
第二项
第二项需要利用 \(\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\rho} g^{\nu\sigma} \delta g_{\rho\sigma}\) 。于是第二项的变分为
\[ \int R_{\mu\nu} \sqrt{-g} \delta g^{\mu\nu} d^4 x = -\int R^{\mu\nu} \sqrt{-g} \delta g_{\mu\nu} d^4 x \]
第三项
第三项需要一些艰苦的运算。梁书的计算比较有意思，这里按梁书的思路计算((梁灿彬 and 周彬 2006))。当度规改变时，与之匹配的导数算符随之改变。而曲率张量作为二次导数算符的对易也会随之改变，假设变分后的导数算符为 \(\tilde \nabla\) ,该导数算符与原导数算符的差是一个张量，如下关系成立：
\[ (\tilde \nabla_\mu - \nabla_\mu) \omega_\nu = \delta \Gamma^\rho_{\mu\nu} \omega_\rho \]
变分后的黎曼曲率张量为
\[ \tilde R^\rho_{\mu\sigma\nu}\omega_\rho = (\tilde \nabla_\mu \tilde \nabla_\sigma - \tilde \nabla_\sigma \tilde \nabla_\mu)\omega_\nu \]
于是黎曼曲率张量的变分为
\[ \delta R^\rho_{\mu\sigma\nu}\omega_\rho = \tilde R^\rho_{\mu\sigma\nu}\omega_\rho - R^\rho_{\mu\sigma\nu}\omega_\rho \]
其中
\[ R^\rho_{\mu\sigma\nu}\omega_\rho = (\nabla_\mu \nabla_\sigma - \nabla_\sigma \nabla_\mu)\omega_\nu \]
经过暴力的计算最终可得黎曼曲率张量的变分为
\[ \delta R^\rho_{\mu\sigma\nu} = \nabla_\mu \delta \Gamma^\rho_{\sigma\nu} - \nabla_\sigma \delta \Gamma^\rho_{\mu\nu} \]
上述的的克氏符 \(\delta \Gamma^\rho_{\sigma\nu}\) 反映的是变分后的导数算子和变分之前的导数算子之间的差异，一般教材中克氏符反映的是普通偏导数算符与协变导数算符之前的差异，类似传统教材借助普通导数算符计算克氏符，我们可以借助 \(\nabla\) 算子计算克氏符的变分，从而有一下公式：
\[ \delta \Gamma^\sigma_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\sigma\rho}(\nabla_\nu g_{\rho\mu} + \nabla_\mu g_{\nu\rho} - \nabla_\rho g_{\mu\nu}) \]
最终的计算可以得到：
\[ g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} = \nabla^\mu v_\mu \]
其中
\[ v_\mu = g^{\rho\sigma}(\nabla_\sigma \delta g_{\mu\rho} - \nabla_\mu \delta g_{\rho\sigma}) \]
从而第三项是一个散度的形式，可以根据高斯定理写成边界的积分，不可由于其中涉及的度规变分的导数，在边界处，度规的变分为0 但度规导数的变分不一定为0，从而不能简单认为其为0，不过可以让边界趋于无穷，此时边界项应该为0，Wiki对此有进一步的讨论。或者见 Carroll 的书 Spacetime and Geometry (Carroll 2003) .
变分结果
整理上述推导便可得到真空引力场方程：
\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R g_{\mu\nu} = 0 \]
对于非真空情况，可以对物质的作用量进行变分从而得到相应的能动张量，从而得到完整的有物质存在的引力场方程。
能动张量
对物质的作用量 \(L_m\) 变分可以得到能动张量的形式，即
\[\delta S_m = \int \delta \left( L_m \sqrt{-g} \right) d^4 x = \int T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g} d^4 x \]
利用这一方式计算能动张量要比用拉格朗日量计算再对称化要简单许多。可以用这一方法计算电磁场的能动张量。电磁场的能动张量正比于 \(F^{ab}F_{ab}\) . 对其进行变分便可得到教材中的电磁能动张量的表达式。具体的过程与前面的计算类似。当然前面有个比例因子，不过我不记得是多少了。