前言
Artin的 Algebra 终于看完了，从去年12月份开始看的，到现在彻底结束已经半年了。其实这本书寒假时就看了一大半，后面回学校之后，看的时间反而比较少了，只能借助一些零散的时间看看。另外对于环论，因子分解，域论这些话题，我的兴致并不高。
我一直对 Galois 其人有着深深的敬意。他充满激情的一生总是让我热血迸发，鼓舞着我前行。其实，吸引我的并不是他的数学成就，而是他身上的那种浪漫主义色彩，那种追寻理想，拒绝向现实低头的纯粹。
Galois 理论
Galois理论是用来解决多项式可解性的系统理论。Artin 书中对Galois理论处理有所简化，他只考虑了特征为0的域上的Galois理论。本文同样只考虑特征为0的域，主要是有理数域 \(\mathbb Q\) .
分裂域
Galois理论主要研究根的对称性，这种对称性的研究是通过分裂域实现的。考虑域 \(F\) 上的多项式 \(f(x)\) ，将该多项式的所有根添加到原来的域中所得的是多项式即为分裂域。如果 \(f(x)\) 是不可约的，那么 \(F[x]/(f(x))\) 是一个域，并且该域中的 \(x\) 就是 \(f(x)\) 的一个根，并且 \(F\) 能够自然嵌入到 \(F[x]/(f(x))\) 中，这过程递归下去，就可以得到 \(f(x)\) 的分裂域，对于可约的多项式，也可如此递归。从而分裂域是存在的。
一个分裂域是原来域的扩域，多项式根的对称性即为分裂域的对称性，因而要构建域的同构来研究对称性。
现有扩域 \(E/F\) ，域 \(E\) 的 \(F\) 自同构 \(\sigma\) 是 \(E \to E\) 的同构，同时 \(\sigma |_F = Id\) . 所有 \(F\) 自同构构成了一个群, 称为 Galois群 ，记为 \(G(E/F)\).
假设 \(K\) 为一般的域， \(H\) 为它的自同构群，那么在该群的保持固定不动的元素也构成了一个域，称之为固定域，记为 \(K^H\).
固定域定理
给定 \(E\) 的一个有限自同构群 \(G\) ，那么有 \(\left[E:E^G \right] = \left|G\right|\) .
证明
记 \(F=E^G\) ，假设 \(E/F\) 是有限阶扩张，那么由于假定了所有的域特征为0, 那么该扩张有本源根，记 \(E=F[\gamma]\) , 那么可以发现 \(G\) 中元素一定不能固定 \(\gamma\) ，否则该元素为单位元，从而 \(\gamma\) 的稳定子平凡，轨道长度为 \(|G|\) . 又 \(\gamma\) 轨道中的元素组成的多项式必定是 \(F\) 中的不可约多项式。从而该多项式的阶数为 \(|G|\) 。于是 \(\left[E:F\right]=\left|G\right|\) .
再说明 \(E/F\) 是有限扩张。因为任何一个元素，可以通过群作用来构建它在 \(F\) 上的极小多项式，从而 \(E\) 上所有的元素均是代数元素。如果 \(E/F\) 不是有限代数扩张，那么，必定可以找到阶数任意大的代数元素，然而任意元素的阶数不能超过 \(\left|G\right|\) .矛盾。
Galois 扩张
伽罗瓦扩张的三个的等价定义
- \(\left[E:F\right] = \left|G(E/F)\right|\)
- \(E^{G(E/F)}=F\)
- \(E\) 是某个 \(F\) 上的多项式的分裂域
证明
\(1 \Leftrightarrow 2\) ，由固定域定理有，\(F \subset E^{G(E/F)} \subset E, \left[E:E^{G(E/F)}\right] = \left|G(E/F)\right|\),从而 \(1 \Leftrightarrow 2\).
\(1 \Leftrightarrow 2\), 假定 \(\gamma_1\) 是扩张 \(E/F\) 的一个本原根。其在 \(F\) 上的极小多项式为 \(f(x)\) ，假设该多项式有 \(\gamma_1 ,\dots, \gamma_r\) 共 \(r\) 个根位于 \(E\) 内。那么可以证明 \(G(E/F)\) 中的元素恰是由 \(\sigma(\gamma_1) = \gamma_i\) 这种形式的元素构成. 从而 \(|G(E/F)| = r\) 于是多项式 \(f(x)\) 完全分裂等价于 1.(这里用到了分裂域定理,一个极小多项式在某个分裂域里要么不可约要么完全分裂).
Galois 大定理
本文的主要定理是证明 Galois定理:
设有Galois扩张 \(E/F\) 其Galois群为 \(G\) 那么 \(G\) 的子群与 \(E/F\) 的中间域一一对应:
\begin{align} \left\{\text{subgroups of}\quad G \right\} &\leftrightarrow \left\{ E/F\quad \text{intermediate fields}\right\}\\\ \phi: H &\rightarrow E^H , H \subset G \\\ \psi: G(E/K) &\leftarrow K , F \subset K \subset E \end{align}
只要证明两个映射的合成总是恒等映射即可, \(\phi \circ \psi = Id\) 这个方向的恒等性由固定域定理证明. 而另一个方向的恒等性 \(\psi \circ \phi = Id\) 由 Galois扩张的等价性证明.