模论

最近在看代数信号处理 ^{puschelAlgebraicSignalProcessing2008} ,该理论主要基于 模论,遂乘此机会学习了 Artin 书的模论部分.

Artin的模论绝对不是写的最好的, 甚至都没有在一般的PID上考虑模的分解. 这从这章的标题也可看出 这章取名为 Linear Algebra on a Ring ,而不像一般的书籍取名模论. 确实这一章的论证技巧 主要是线性代数的. 而不像环论中使用各种理想.

这一方法的缺点自然是一般性不够, 但是却是切入模论的最快路径.

整数环上的模

该章的第一个重要结果是整数矩阵的结构,任给一个整数矩阵 \(A\) 总有两个可逆整数矩阵 \(P,Q\) 使 \(\Lambda = PAQ^{-1}\) 是对角矩阵.

若记 \(\Lambda=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,d_3,...,d_k,0,0,...,0\}\), 则有 \(d_1 |d_2 |d_3|\cdots|d_k\).该证明不难就是使用Euclid算法加 一些矩阵技巧.Artin没有直接证明该分解的唯一性,实际上,它是在证明Abel群的结构定理的分解的唯一性 的时候才说明了该分解的唯一性.

这个命题非常基本, 它贯穿了整章. Artin首先证明了Nother环的有限生成模的子模是有限生成的. 整数环是Nother环,从而整数环的有限生成模的子模是有限生成的. 根据这一结果可以证明, 整数环上的有限生成模 \(M\) 可以通过有限维的整数矩阵表示. 即存在整数矩阵 \(A\) 使得

\[ M \simeq R_m/AR_n \]

由于前面提到的 \(P,Q\) 不过是坐标变换,从而整数环上的模可以表示为一些循环模的直和. 实际上该一结论直接给出了Abel群的结构.

推广

Artin接下来的思路就是推广. Artin首先证明了Hilbert Basis定理, 即 任意诺特环的多项式环是诺特环 从而将前面的定理推广到 \(\mathbb F[t]\) 环上. Artin 没有给出证明 不过这个推广是显然的. Artin借此给出了\(\mathbb F[t]\) 模的结构. 但是也说明了它的唯一性, 但是没有给出证明. 这是比较可惜的.

代数信号处理

有了这一数学工具,便可以读懂代数信号处理的论文了. 代数信号处理将模论应用到信号处理理论, 给出了信号处理的一个新的视角或者说一种理论框架,后面的图信号处理就是基于这一框架的. 代数信号处理本身并没有给出新的东西.

代数信号处理将滤波器视为代数,而将信号视为代数上的模,这一构造并不新鲜. 实际上在处理线性算子时,就将线性算子作用到向量上视为模与环的乘法,取线性算子生成的 环作为环(可以视为将多项式环中的 \(x\) 替换为算子),于是可定义该环上的模. 代数信号处理依赖于该线性算子的选取,并称之为 shift operator.

有限生成的模可以进行直和分解,这就给出了信号的不同频率分量,模与这些子模分量之间的变换对应了 Fourier变换与逆变换.不过,使用模与线性空间类似,也要选定一组基进行运算,一组基可以 将该模与欧式线性空间一一对应,更便于运算.

Bibliography

[puschelAlgebraicSignalProcessing2008] Puschel & Moura, Algebraic Signal Processing Theory: Foundation and 1-D Time, IEEE Transactions on Signal Processing, 56(8), 3572-3585 (2008). doi. ↩