写在前面
今天已是2020年的倒数第二天了，时间真的好快。这一年我干了什么呢？
2020年开篇并不顺利，一场疫情让人措手不及，我本以为只消几个月， 病毒就会退去，然而直到5月中下旬，我才回到学校。而直到现在，COVID-19 依旧在全球肆虐，甚至在英国发生了变异，传播力更强了，昔日太平的生活不知 何时才能回来，而今年春运马上就要开始，希望不要二次爆发才好。
2020年的主题是数学
疫情在家闲来无事，竟在家研究起数学来了。计划是看看 中科大的《近世代数引论》，然后冲击Galois理论。
学群论的时候一步一步跟进，觉得很是有趣，其中的轨道公式，我是非常喜欢的。然而到了 环论域论时我的耐性渐渐失去，开始开起了快车，草草读过这两章后 直接看章璞的的书强攻Galois理论，结果自然是不得要领，无法体会他们所说的 精妙。事实上，我看Galois理论时还跟着南京大学秦厚荣的视频的，结果还是 一塌糊涂。果然，学习数学没有捷径，浮躁是万万不可的。
看完Galois理论，我转战泛函分析，学习这个主要还是受到想在信号处理领域扎根， 当初看小波变换，看压缩感知，深深的感受到了自己数学的有限，于是想通过泛函分析 切入现代的分析学。吸取了前面的教训后，我把学习的进度掐的很慢，也做了书上的 大部分习题。事实上开学时，我才把柯尔莫戈洛夫的泛函部分看完。
回到学校后主要看的是实变函数部分，不过我仅仅止步于第5章，之后准备 毕业答辩，这本书便搁置了。
柯氏书《函数论与泛函分析》将泛函放在实变函数之前，确实是一股清流。不过 这丝毫没有降低这本书泛函部分的深度。相反，将实变函数从泛函中剥离，使得 该书的泛函托身于更一般的空间，其一般性是更高的。不过现在的数学家更倾向于 认为分析是一个整体，教的时候应当穿针引线，将泛函实变联系起来。Rudin《实分析与复分析》 便是这种写法的典型。
实分析与复分析
这一年我可能最值得骄傲的一件事便是跟着沈老师学完了Rudin的《实分析与复分析》，当初 选这门课的时候还是战战兢兢的，生怕最后不能及格。甚至在退课系统关闭前还发邮件问了他， 希望他能给我点关照，这当然是痴心妄想。无论如何我最终还是选了这门课。
Borel测度
Rudin的这本书观点甚高，完全不是典型的实分析。其中的泛函和实变函数是有机的整合在 了一起，完全无法分开，其中关于测度的讲法更是匠心独具。比如本书的第二章“Borel测度”， 直接用Reisz表示定理开宗明义的讲明正Borel测度（实际上是完备化的）与 $C_c(X)$ 上的正线性泛函一一对应。这么一个定理直接讲清楚了测度的结构，积分的结构。而Lebesgue测度 不过是黎曼积分作为正线性泛函的所对应的测度。这个定理也奠定了此书的高度。
Hilbert空间
本书的第四章“希尔伯特空间的初等理论”是我最喜欢的一章。Hilbert空间结构非常清楚，其性质 也非常好（比如自反性），又有良好的几何图像，实在是讨人喜欢。其在物理，工科中也是应用广泛， 比如量子力学的态空间，信号处理的 $L^2$ 空间。用Hlibert空间的概念处理Fourier 级数，直观 又优雅。
复测度
这本书很有个性的一个概念是复测度的引入。在复测度的框架下，积分与测度的关系 更明了了，可积函数对应了一个测度，而绝对连续测度也对应了一个可积函数（Radon-Nykodym定理）， 这就让积分的绝对连续性成为一个平凡的推论。推广的里斯表示定理也直接表明，$C_0(X)$ 有界 线性泛函与复的Borel测度一一对应。
复分析
复分析部分老师跳了很多章，我学得很痛苦，没有一种流畅的感觉。同时也感觉到Rudin 的复分析部分没有实分析部分好。让我印象最为深刻的可能只有，用模群证明Picard小定理那 节，是真的惊艳。可惜我没搞懂，太遗憾了。
这门课考试复习的时候，在网上看评论说这本书没有一张图，我仔细一翻，竟然是真的，当时我就在 图书馆笑出了声，也不知道自己为什么笑，你明明应该哭的。