测度的卷积
今天做Rudin习题的时候发现了一个很有意思的概念。测度的卷积。 用这个概念可以统一连续卷积，离散卷积和圆卷积。具体可见实分析和复分析第8章的习题。
首先看一下测度的卷积是怎么定义的。
设$\mu,\nu$是$L^1(X)$ 上的复测度。（原题限定$X$为$\mathbb{R}$） 则$\mu,\nu$的卷积被定义为
$$ \mu * \nu (E) = \int \mu(E-t) d\nu(t) $$由定义知上式中的空间不能是任意空间，比如定义中出现了减法，从而它还要是个 加法群。不过我们只关心几种情况,下面仔细阐述。
下面主要用分别考虑下面三种情况：
- $X$ 为$\mathbb{R}$。
- $X$ 为 $\mathbb{Z}$
- $X$ 为 $T$, 这里的$T$指离散的圆盘，或者认为是一个周期数列。
连续的情况 $X =\mathbb{R}$
这里假定两个测度绝对连续，那么由Radon-Nykodym 定理可以将复测度写成积分的形式：
$$ \mu(E) = \int f dm $$$$ \nu(E) = \int g dm $$则可以断言
$$ \mu * \nu (E) = \int f *g d m $$于是
$$ \frac{d(\mu*\nu)}{d m} = f* g $$这是连续卷积。于是我们可以这样理解，每个$L^1$ 空间中的函数 都对应了一个复测度，复测度的卷积，对应了这个函数，也就是R-N导数 的卷积。这时函数应当认为是一个密度函数。
这一思路可以毫无意外的推广到离散的情况。
离散的情况 $X=\mathbb{Z}$
这时复测度关于计数测度绝对连续。 此时定义密度函数(其实也是R-N导数)：
$$ f(n) = \mu(\{n\}) $$这时也可以发现测度的卷积对应了密度函数的卷积，这恰是信号处理中的 离散卷积。
离散圆周的情况 $X = \mathbb{T}$
这里的复测度关于计数测度绝对连续 此时的T是圆周上均匀离散采样得来，具体来说就是
$$ T = \left\{ e^{2\pi jn/N} | n=0,1,2,\cdots,N-1\right\} $$记$f = d \mu/dm,g=d\nu/dm$ 则$f * g = d(\mu*\nu)/dm$ 恰是圆卷积。