本文主要整理一些上 实分析与复分析 课时遇到的一些问题。
测度论相关
1. 测度完备化的唯一性
测度空间 $(X,\Sigma,\mu)$ 可以进行延拓得到一个的完备测度$\mu^* $ 和$\sigma$-代数$\Sigma^* $, 其中的$\Sigma^*$由下式给出。
$$ \Sigma^* = \left\{P \subset X| \exists A,B\in \Sigma ,A\subset P \subset B,\mu(B-A) = 0\right\} $$上式中的 $\mu^* (P) := \mu(A)$。
stackoverflow 谈论了在上述$\sigma$代数上完备测度的唯一性。
那么上述的$\Sigma$ 是唯一能使测度完备的$\sigma$-代数吗？
$$P = \left\{A\subset X | \exists B\in \Sigma, A\subset B,\mu(B)=0 \right\}$$
那么恰有 $P\cup \Sigma = \Sigma^*$ 从而知道上述的完备化是最小的。 那是否有更大的$\sigma$-代数，使测度在其上的延拓是完备的呢？
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